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282 第282章 广义模曲线（第4页）

而对于科学岛实验室的众人来说，今天，他们都是前者。

不过，时间终究还是不会等人，随着游乐园的闭园，所有游客都离开了之后，这一天也就结束了，所有人也都汇报已经返回了宿舍，或者是家中，报了平安。

一夜过去。

第二天，太阳照常升起。

萧易昨晚也是就睡在自己办公室中的休息室的，所以起来之后，洗漱完成，就能够在办公室开始进行研究。

从昨天的衣服口袋里面拿出了记事本，看起了上面留下的笔记，他的嘴角微微一笑。

“ok，今天就可以正式开始了！”

联系了王豪，让他从食堂给自己带一份早点过来，随后就坐在了办公桌前，拿出了草稿纸和笔，开始了这最关键的推导。

广义模曲线，那么先就得先回顾一下模曲线的定义。

【对于一个正整数n，定义模曲线x（n）为复上半平面h的模块空间（modu1ispanet）作用产生的等价关系。这里，Γ（n）是模群sL（2，Z）的主同余子群，定义为……】

“接下来定义广义模曲线……”

【设n是一个正整数，f是一个n维的siege1模形式，即全纯函数f:h_n→net复对称矩阵τ=（τ_ij）的上半空间，其满足:对于所有的γ∈sp（2n，Z），有f（（aτ+B）（cτ+d）^（-1））=det（cτ+d）^kf（τ），其中（aB;net，Z）中的元素，k是f的权;在h_n的每个尖点处，f满足一定的增长条件。】

“于是，对于这样的f，就可以定义广义模曲线x_f^（n）为siege1上半空间h_n的模块空间，模掉由Γ^（n）（f）作用产生的等价关系。”

【这里，Γ^（n）（f）是siege1模群sp（2n，Z）的一个子群，它依赖于f，定义为:Γ^（n）（f）={γ∈sp（2n，Z）|f（γ（τ））=f（τ），对于所有τ∈h_n}】

“到这里，x_f^（n）就成功参数化了所有带有f所描述的模性质的n维阿贝尔簇。”

写到了这里，萧易微微一笑。

到这一步，他就算是将最关键的问题解决了。

这个得到拓展的新几何概念，虽然被命名为广义模曲线，但是俨然已经成为了一个全新的东西。

它更加体现出了现代数学中的一个重要思想，那就是通过引入新的数学结构，从而在更高的层次上理解事物的本质，现隐藏的联系。

“那么，接下来，也该回到扩展L-函数的本身了。”

萧易只是简单的一观察，就很容易能够注意到对于每个n维广义模曲线x_f^（n），都存在一类特殊的n维阿贝尔簇，它们的扩展L-函数与x_f^（n）的Zeta函数有密切的关系。

当然，仅仅只是观察到还不够，还需要给出证明。

但是既然已经到了这里，那么也就不存在太大的难度了。

花费了几张草稿纸，他最终给出了一个全新的定理：设e是一个n维阿贝尔簇，f是一个n维siege1模形式；如果e的模性质由f描述，那么e的扩展L-函数L（s，e，）等于广义模曲线x_f^（n）的Zeta函数ζ（x_f^（n），s）。

“如此，最麻烦的一步，也就成功完成了。”

那么，接下来要做的就是，向着最后的证明前进！

阿廷猜想，如今已经拦不住他了。

通过将每个扩展L-函数与一个广义模曲线联系起来，他可以使用广义模曲线的几何性质，如维数、Betti数、hodge结构等，来刻画扩展L-函数的特性。

最终，答案也终于放在了他的眼前。

半个月后。

……

（本章完）